Помочь очень доброму и хорошему человеку

Общаться стоит и нужно. Может проявить инициативу и пригласить ее сходить вместе куда-то. Хоть в театр, в кино, кафе?
У меня бабушка такая была, в возрасте иногда впадала в уныние. Мы (внуки и дети ) ее часто куда-то вытаскивали. Сначала все время сопротивлялась, "хочу остается дома, одна" так например каждый новый год. Потом всегда соглашалась, привозили ее , была довольна, говорила, рада, что выбралась, веселее становилась.

Может, предложить помощь по хозяйству 1-2 раза в неделю, заодно и навещать ее будете?

Мне кажется, что общение и внимание очень важно. Даже если ей не захочется встречаться и разговаривать с Вами, просто сообщит Вам об этом, ничего страшного. Пока Вы думаете, стоит ли беспокоить её звонками, она возможно думает, что поговорить не с кем. Если Вам не безразлично, то конечно пытайтесь выяснить чем ей помочь можете.

У меня такое ощущение, что автор нашла одинокую бабку (муж дети умерли, родственники далеко) и не знает как правильно подступиться к бабке с темой "необременительная помощь за квартиру".

По себе людей не судят. Я как Вы сказали "за эту бабку" готова многое отдать.

Я бы предлагала ей ходить вместе по культмероприятиям, а иногда (очень ненавязчиво) - помощь по хозяйству. Бабули бывают такие гордые в плане помощи - не подступиться. Например, осенью и весной помыть окна, перед Пасхой и НГ горы пыли вытереть (ей явно сложно со шкафов ее вытирать). К праздникам дарить то, что она сама себе не купит, пожадничает. Прямо говорить, что если понадобятся помощь и лекарства, то пусть обращается.
выше написали насчет квартиры. Ну и что же, даже если так? Лучше уж пусть Автор добросовестно присматривает, чем мошенники какие-то набегут (а они вьются вокруг одиноких стариков).

Бабули-то разные бывают. Вот моей очень пожилой родственице помощь по хозяйству даром не нужна, а компания по культпоходам, наоборот, нужна позарез. И это на девятом десятке, мне бы хоть вполовину быть таким живчиком! Если коллега Автора из таких, то лучше пока ограничиться совместными культпоходами, но предупредить, что можно обращаться за помощью.