Добрый день!
В 15 лет вы вполне можете решать сами, какую одевать одежду, во что красить волосы, с кем общаться и так далее, потому что вы уже не маленькая девочка.
С другой стороны вы живёте с родителями, финансово пока от них зависимы, а значит, они имеют право высказывать своё мнение (в т.ч. отрицательной) относительно ваших желаний и потребностей.
Конечно, когда вы будете жить самостоятельно, отдельно от родителей и физически и финансово, только вы сами будете решать, что и когда вам делать.
Но сейчас пока это не совсем так в силу объективных причин.

Поэтому есть несколько ответов на ваши вопросы.

Во-первых, можно попробовать ещё раз поговорить с мамой и всё-таки попробовать донести ей, почему вам так важно покрасить волосы, и уверить её в том, что с ними точно ничего не случиться.

Во-вторых, вы можете прислушаться к себе и понять, насколько это желание (покрасить волосы) для вас сейчас действительно важно. Например, по шкале от 0 до 10 баллов (где 0 - абсолютно всё равно, а 10 - буквально вопрос жизни и смерти) на сколько бы вы оценили силу своего желания? Если оно не такое сильное, может быть стоит пока отложить и, соответственно, избежать возможных конфликтов со стороны мамы.

Ну, и, в-третьих, если есть в целом непонимание в ваши с мамой отношениях, а покраска волос - это только частный случай этого непонимания, то можно предложить сходить с мамой на консультацию к психологу. Иногда родители, услышав мнение независимого взрослого, вдруг начинают по-другому воспринимать поведение и просьбы своих детей-подростков.

Удачи вам!!!