не могут принять заявление 31 числа

А вам выгодно, чтобы заявление приняли только в январе: тогда вам выгоднее оплатят эти дни.
Вообще, если отказываются принять заявление, отправляете его ценным письмом с описью вложения, сделать это разумно в том отделении, где почту получает работодатель: тогда оно дойдёт на следующий же день.

Обратитесь к другогому начальству и попросите вам посодействовать делом или советом.

Я так к главному директору обратилась со своей проблемой, которую никто не хотел решать. И все решилось за один день. Может и вам повезет.

Заказным письмом по почте с описью о вложении направляете и все.

Там не проблема, а вставление палок в колеса. В таких случаях действовать надо по закону - отправила почтой да и все. Еще унижаться там ходить умолять чтобы уволили))

Не понимаю, если это не рабочий день, почему они должны принять его???

Не умолять, а спокойно спросить совета. В каждой компании свои правила.

Для меня рабочий день

А для отдела кадров? Почему Вы думаете ТОЛЬКО о себе?