Как уговорить начальство перевести на неполный рабочий день?

Ртом/письменно в ухо по русски, имея веские аргументы

Неполный рабочий день по желанию - это полставки...
Потому что реально неполный - по закрепленным в законодательстве причинам
Но это должно быть обоюдное согласие
Брали то вас на ставку..
Так что, просите полставки. Для этого не нужно причин

Надо быть ценным сотрудником чтоб под тебя прогибались

По семейным обстоятельствам.

Или честно признаться, что получили предложение получше, но вы бы не хотели расставаться с работой, на которой сейчас, поэтому у вас дилемма - или уходить на новую работу, или совмещать. Но это риск, да, не все работодатели любят «делить» работника. Работник, который имеет еще один источник дохода - более независим и менее лоялен (откажется бесплатно поработать дополнительно, например).