Можно ли ошибаться в арифметике, но понимать математику?

Вся серьезная математика - это вообще не про арифметику. Там даже и цифр-то особо нет. А то, что вы ошибаетесь в счете - это, скорее всего, просто отсутствие навыка устного счета. Если вам это так важно, больше тренируйтесь.

Пользоваться калькулятором.

Это от тупости. Точнее, от невнимательности.