"Реально ли пройти по конкурсу без связей?

На должность инспектора (на таможенный пост где-нибудь на границе) запросто. В центральные таможни в городах без связей на должность специалиста вряд ли.
Как вариант, подойдите к начальнику выбранного отдела, и скажите, что хотите у него работать. Иногда этого достаточно. Но у Вас должно быть четкое представление, чем Вы хотите заниматься. Что интересно: арбитраж, административные нарушения, дознание, оперативная работа?

Ну, ничего, Автор. А Вы представьте: через пару лет его уже быт заест до невозможности. А у Вас праздник, у Вас свадьба! И Вам к тому моменту будет глубоко наплевать на этого человека, поверьте. Я недавно встретила на улице мужчину, который внезапно пропал из моей жизни по причине своей женитьбы. Вместо того, кого сильно любила, увидела растолстевшего, обрюзгшего, с брюшком, с залысинами мужика. Как подумаю, что теперь рядом со мной бродило бы вот это, и некуда было бы деться. Вздохнула с облегчением и убедилась, что мой муж лучше, чем ее, бе-бе-бееее