Кто выдает документы при отчислении из вуза?

Нэт.

Документы выдают тетки в деканате.
Декану, а тем более ректору ты нах не нужна.
Таких отчисленных полно.

В армию пойдешь?

Не парься, военкомат другие даст, без документов не останешься.

Хотелось бы, ибо стыдно

В деканате методист вам всё отдаст.

Точнее, в деканате отдадут обходной лист. Нужна будет печать библиотеки, бухгалтерии (если учились платно) и чья-то там еще. А потом с этой бумажкой даже не в деканат, а в архив или что-то типа него. В деканате не хранятся документы, они хранятся в других специальных местах. У вас будет написано в обходном, автор.

Это долгий процесс?

Можно управиться за один день. Но вы вроде бы уже спрашивали, и у вас там не все оплачено. Тогда может возникнуть проблема. Потому что по закону вам должны отдать документы и без оплаты, но университет 99,9% будет отказываться так делать.