Можно ли написать заявление в полицию, если сожитель пропил золотое кольцо стоимостью 81000?

Написать то можно. А он скажет не пропивал. Чем доказывать будете?

Ну он же его кому-то продал - отнес в ломбард или в скупку. Можно доказать, если найти свидетелей, найти его переписку и тому подобное. Потом, по факту он его украл, это же не его кольцо.

Вы такая наивная. Полиция должна обход всех ломбардов делать? Какая переписка, вы о чем? Вы наверное никогда с полицией дело не имели
А я имела. Я была свидетелем подобной ситуации. В данном случае факта кради нет. Они живут под одной крышей, ведут одно хозяйство, могут брать любые вещи и пользоваться ими, кроме случаев когда вещь спрятана, заперта. Кольцо было в доступе, факта взлома нет. Дело не заведут