Урок: Нахождение числа делителей

Приветствую, форумчане!
На этом уроке мы выясним, как вычислить число делителей данного натурального (т.е.целого положительного) числа.
Пример: Найти число делителей числа
a) 12 б) 5 в) 13
Пока что будем "считать на пальцах".
а) Перечисляем все делители числа 12.
1, 2, 3, 4, 6, 12. Ответ: 6 делителей.
б) У числа 5 всего два делителя: 1 и 5. Ответ:2 делителя
в) Очевидно, что и у числа 13 тоже только 2 делителя.
Натуральные числа, у которых есть два и только два делителя, носят названия ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ.
Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...(в интернете есть таблица простых чисел).
Пример: Найдем число делителей числа 1024.
Решение: Данное число представимо степенью простого числа, в частности, двойки.
1024 = 2^10 (два в десятой степени). Сей факт можно получить, например, "столбиком".
А теперь понятно, что у числа 1024 есть 10 + 1 = 11 делителей:
2^0=1, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, 2^7, 2^8, 2^9, 2^10.
Теперь станет понятной схема нахождения числа делителей любого натурального числа.
1. Разлагаем число на простые множители.
2. К показателям степеней простых сомножителей прибавляем единичку, и полученные суммы (показатель плюс единица) перемножаем.
Пример: Найдем число делителей числа 72.
Решение: 72 = (2^3)*3^2.
Прибавив к поеазателям степеней единички, получаем
3 + 1 = 4, 2 + 1 = 3.
Перемножаем: 4*3 = 12.
Ответ: 12 делителей.
Пример: Найдем число делителей числа (4^13)*9^5.
Тут надо заметить, что основания степеней не являются простыми числами, и поэтому эти основания надо разложить на простые множители.
(2^2)^13*(3^2)^5 = 2^26 * 3^10.
И только теперь находим число делителей
27*11 = 297.
Ответ: 297 делителей.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Найти число делителей числа:
а) 972 б) 576 в) 12^6 * 25^7.
2. Найти наименьшее натуральное число, у которого есть только десять делителей.
3. Сколько всего решений (х, у) на множестве натуральных чисел имеет уравнение
ху = 2023 ?