История браузера через роутер

Так мне самой надо кое-какой вопрос прояснить. Для этого и спрашиваю

История в роутере может сохраняться, только если вы включили т.н. "родительский контроль". Но все ваши поисковые запросы сохраняются у провайдера (если не задействовали vpn).

Поисковые запросы всегда остаются, если вы не запускаете программу по очистке компьютера. Например, RegOrganizer очень хорошая программа.

она про роутер спрашивает

Хочешь палить еппыря?

Гугл, как и другие поисковики, работает через https. Следовательно никакие поисковые запросы не увидит ни роутер, ни провайдер.
...
Роутер и провайдер, увидит лишь ip адреса сайтов, на которые вы заходите, если эти сайты работают через https (сейчас уже практически все сайты так работают). Конкретные страницы сайта на которые вы зашли, никто не узнает. А на одном ip адресе, может быть много сайтов.
...
В редких случаях, если вы заходите на сайт по http, роутер и провайдер, видят не только ip адрес, но и строку запроса к данному сайту - т.е. видят конкретную страницу, которую вы открыли.

за мной родители этим способом следили, но я так это и не доказала

За кем вы собираетесь следить? А как на счёт законодательства? Учитесь и не забывайте, что включаясь в подглядки , вы так же становитесь объектом пристального внимания. 😎