Можно ли выпрямить зубы без помощи брекетов?

Все зависит от ситуации. Но метод, не помню как называется, когда используют разовые капы, изготовляемые на заказ по слепкам, и меняют каждый месяц, стоит дороже брекетов и не всегда подходит.

Правильные капы стоят в разы больше, чем брекеты. Сколько вам лет? Просто скажите маме, что надо к ортодонту на консультацию. А он скажет варианты. Есть еще капа миобрейс, она недорогая, но для простых случаев. Прикрывать рот - это бред, как ты дальше будешь учиться и работать?

Но эти миобрейс во взрослом возрасте не ставят, наверное?

Выровнять зубной ряд, исправить прикус и улучшить тем самым эстетику лица, можно только брекетами. Или элайнерами - но они ещё дороже и исправляют только лёгкие косметические недостатки. Детям ставят пластины часто.
А реальную кривизну только брекеты исправят.
То что ты закрываешь рот и не можешь улыбнуться, говорит о том, что ты страдаешь и этот недостаток ухудшает качество твоей жизни. Брекеты бывают разные, есть очень бюджетные варианты. В любом случае выхода только два. Сказать матери, пусть они решат эту проблему, либо заработать самой в будущем. Но для этого надо самореализоваться. Жизнь долгая и возможностей у тебя будет много.
Либо ты можешь принять себя и не комплексовать. Улыбаться во весь рот и не закрываться. Попробуй.

Главное, чтобы зубы были здоровыми.

А выровнять вы их сможете в любом возрасте, когда будет позволять финансовая ситуация.

Есть система Инвизалайн, с прозрачными каппами съемными.
Не для всех случаев подходит, нужна консультация ортодонта.
Сходите по системе ОМС на консультацию к ортодонту, и будете лучше понимать ваши варианты, стоимость, возможные сроки.
С родителями лучше эту ситуацию обсудить, для девочки внешность важна, и родители это должны понимать.