Кот все время спит

Нормально, тем более, в таком возрасте

Кот - тоже живое существо, которому скучно и хочется развлечений.
Если вы с ним не играете, не общаетесь, не участвуете в его жизни, ему только и остается, что спать.
Если вас заботит его психологическое самочувствие - уделяйте коту больше времени.
И еще неплохо бы к ветеринару сходить на осмотр (хотя бы раз в год).