Можно ли уволиться, если я на целевом?

Не подпишет директор ваше заявление. Вы можете обратится в суд,но суд примет сторону предприятия.
Целевое обучение за счет работодателя -это кабала 21 века.
Придется отучиться в вузе и отработать на предприятии.

Обычно так и делают, приходят отрабатывать 3 года после обучения. Впервые вижу такую ситуацию как у вас

А в договоре что написано?

Написано, что после обучение отработка по специальности 3 года. Но если я уже работаю... Проблем не будет с увольнением и последующим восстановлением?

Так и непонятно, какие именно возникли у вас проблемы. В чем некомпетентность начальника и как она сказывается конкретно на вас? И разве люди, которые вас оформляли на должность, не знали, что у вас нет образования, что вы толкьо учитесь, в чем конкретно проблема?

Что касается некомпетенстности руководителя:
Чрезмерная эмоциональность. Срывы на сотрудников, например, повышение голоса или оскорбления, слишком сильные расстройства и истерики.

Неумение работать с критикой.
Руководитель старается избегать её, а если не получается — слишком эмоционирует.

Неспособность слушать и учитывать мнение сотрудников. Игнорирование идей и предложений команды, не реакция на проблемы коллектива.

Несправедливая критика и постоянное обесценивание достижений. Руководитель делает акцент на промахах, часто принижая труд и достижения работников.

Думаю, не сложно догадаться, как это конкретно сказывается лично на мне и на коллективе в целом, кроме того в коллективе большая текучка молодых кадров.
Если говорить о том, что я работаю по специальности не имея образования, то да, об этом все знали. Но требуют сверх того, что должен делать человек с данным образованием, кроме того не предоставляя наставничества и курирования, от чего я неоднократно получаю "по шапке" за недолжное исполнение своих обязанностей. Но я стараюсь, правда! Делаю всё, что в моих силах! Меня всегда попрекают моей должностью "У нас есть специалист!" "Почему ты специалист и не знаешь как это делать!" "Я в тебе разочарован, ты же специалист!" Если я говорю о том, что у меня ещё нет этого образования и я не знаю, не могу, у меня не хватает опыта делать то, чего от меня ждут, меня не слышит и рассказывает историю о его становлении в данной организации, как он страдал и из себя выходил, лишь бы результат хороший вышел (на тот момент, он уже имел образование в этой сфере). В общем как-то так.