Стоит ли из-за этого уволиться?

Нет, увольняться - это последняя мера. Перед тем, как увольняться, нужно найти новую работу.

Я имела в виду в целом - решение сменить работу

Я бы сменила. Какая ещё семья? Это проблемы начальницы, что у нее на фирме проблемы.

Если вас нужно будет уволить, фирма не будет держать ненужного «члена семьи».
Если не хотят увеличивать размер зарплаты из-за увеличения объема работы, то откажитесь ее выполнять. На что договаривались, то и выполняйте. Какой режим работы установлен, такое время и сидите. Можете обезопасить себя и подойти не с устным, а написать служебную записку, где прописать, что на вас дополнительно понавешали без оплаты. И в рамках установленного режима рабочего времени дополнительный объем работы выполнить невозможно. Если вы хотите перевестись на полный рабочий день.
Если нет, о просто отказываетесь от дополнительного объема без доплаты. Уволиться вы всегда успеете

Начальница говорит, что я просто медленно работаю и если работать быстрее, то мне хватит и полдня

А так как я все не успеваю, у меня ещё и появляются ошибки. Что служит дополнительным аргументом начальницы не повышать мне ЗП

Семья - это один из «звоночков». Я хоть и настырный в этих делах, но ситуация была как у тебя. Зарплату поднимать не хотели. Пришел к руководству с заявлением об увольнении так сразу начал спрашивать почему ухожу. Сказал, что на другой работе больше платят. Он мялся, но повысил зарплату

«Она ответила, что сейчас у фирмы тяжёлый период и самое главное, чтобы фирма выжила. Поэтому поднять ЗП она мне не может и попросила отнестись к происходящему так, как будто мы одна семья.»

Стандартное наедалово. Войди в положение, работай больше за меньшие деньги. Вот только, когда дела у фирмы пойдут в гору и бабло пойдет рекой, тебе не добавят ни копейки и моментально забудут что «вы одна семья».
Вся эта «семейственность» и «вхождения в положение» работает только в одну сторону. Когда надо выжать из сотрудника максимум работы за минимум зарплаты.

А зачем тебе добавлять? Ты и за меньшую сумму пахать готова. Такая вот у них логика.

Поэтому смело ищи новую работу. На этой перспектив нет.

В семье не без урода) И этот урод ваша начальница. Вас совсем за дуру держат. Конечно надо уходить, охренели в край.

Я бы ушла. Вас обманывают. Когда у фирмы тяжелые времена, её закрывают. Без прибыли нет смысла работать.
Достаточно посмотреть их финансовый отчет .Эти данные есть в инете в свободном доступе. Там вы увидите прибыль за прошлый год.
Какой смысл работать там ,где обманывают?

Делайте за эти полдня только то, что успеваете. Остальное лесом.

Какая может быть семья! Это работа, а не альтруизм.
Ищите другую работу, вас открыто используют.

Предложите войти в долю бизнеса, раз вы семья. Члены семьи обычно имею доли в бизнесе.

А если серьёзно и конструктивно, то составьте снимок рабочего дня.
Записывайте каждую задачу с таймингом её выполнения, и так несколько дней. Дальше приходите к начальнице и обсуждаете, как распределить дела по другому, чтобы уложиться в полдня. Возможно что-то вы делаете слишком скрупулезно, а на это можно забить. Возможно неправильно ставите приоритеты. Возможно что-то с вас можно снять. В общем, добиваетесь от неё более рационального распределения дел. Так все будут довольны - вы работаете пол-дня, а она получает нужную выработку.

Насчёт медленной работы, вас же брали на полдня с учётом старой, медленной нагрузки. Так что это не довод сейчас. Вы такая сразу были, и это всех устраивало. Таков ваш договор был, котрый сейчас односторонне пересматривается, что неправильно.

И да, сама работала на фирме, в которой начальник постоянно ныл, что денег нет, бедный несчастный. Но не учел один факт, что я отчёты делала и видела, что у него в год 50 тыс евро его личных доход. Прошло 10 лет, я уже там не работаю, но работает моя знакомая. Песня стара как мир, "денег нет" продолжается до сих пор..

Такими доводами можно манипулировать бесконечно. И заставлять работника оставаться после работы бесплатно.
А вообще, это дополнительная работа входит в обсуждаемый при найме функционал? Или объем увеличили? Каким образом начальница определила, что объективно все это можно выполнить за указанный режим работы? Нормативы есть?

Нет. Функционал полностью поменялся. Из предыдущего осталось только закупка канцелярии и встреча гостей

Вот на таких административных позициях всегда приваливает, вешают со всех отделов что-нибудь.
Я манала работать в таком

Не знает цену своим делам, готов работать бесплатно, стесняется брать деньги, боится что его услуги не стоят столько. Работает много, но не умеет назначить адекватную цену за свою работу. Выбрано не то направление деятельности, нужно искать что-то другое, оно и будет приносить деньги.

Ну так тем более. Договаривались об одном, за этот объем вы согласились на такую з.п. теперь чего вешает другое?