Троице-Сергиева лавра это колыбель русского монашества?

Давайте с терминами сразу определимся. Вы о какой именно ТСЛ говорите? О той, которая существовала до её полного уничтожения бельшевиками? Или о том, которую спустя много лет на том же самом месте и под тем же самым названием большевики создали?

Об обоих. Хотя о первой намного коректние и ближче к сожалению вопроса по сути.

Первой давно уже нет.
Вторые - просто самозванцы, назвавшиеся чужим именем и присвоившие чужие заслуги. Сама ТСЛ - не более чем очередной (и очень крупный) филиал корпорации ЗАО РПЦ, одержавшей (с использованием административного ресурса) победы на рынке оказания магически услуг.

Киево Печерская лавра колыбель

Киево-Печерская колыбель руського монашества. Русского монашества Троице-Сергиева лавра.

уууу, как всё запущено!

Меня в детстве поразило, что там Илья Муромец захоронен. Настоящий человек, инок.
Про Нестера летописца не удивилась, Муромца считала былинным сборным персонажем.