У кошки строение зубов таково, что на них всегда много инфекции. То есть в рану занесён инфекция. В больнице антибиотики колят.
На будущее после укуса промывать густой пеной 70% хозяйственного мыла, как советское такое раньше было. Оно убивает все бактерии.
Кошку выгонять/убивать и тд не надо. Видимо испугалась или больно было.
Если в больницу и кошка непривита, в принципе можете отказаться от уколов от бешенства, при уверенности, что её никто не кусал.