Менять ли питомцу кличку?

Я в свое время забрала кота у нехорошего бывшего хозяина, но имя не меняла. Кот на тот момент был уже взрослый, а думаю привыкший к своему имени

Ненадо менять имя

Мы взяли взрослую собаку, имя не меняли.
Но если хотите, то можете и поменять, это никак не отразится на животном. Если все сделаете как надо, то быстро переучится и забудет старую кличку.

Можно какое-то время звать 2мя именами подряд, потом 2е оставить.

Я оставляла всегда клички.

На ваше усмотрение. Для них имя или кличка не имеют сакрального значения. Вполне будут откликаться и на "эй, скотина! Иди сюда!"

Я своей кошечке поменяла, когда паспорт оформляла (прежние хозяева никакие документы мне не дали, хотя они точно были, так как кошка стерилизована). Но она вообще никак не реагирует ни на какие имена, только на кис-кис, поэтому называю просто кошкой, рысью (она мейн-кун 10,5 кг), зверёй, полосатой и так далее, имя вообще не использую.