могу ли уволиться?

написать заявление на отпуск с последующим увольнением

Уволиться из отпуска (даже предоставленного "авансом") - можно.

На сколько дней отпуск? Если на 28, то смело пишите заявление, отработка как раз придется на время отпуска. Если на 14 дней, то возможно придется после отпуска отработать несколько дней, надо считать.

а как можно это аргументировать, если работадатель начнет говорить, что нельзя?

Статья 80 ТК - увольнение по инициативе работника. Аргументировать не надо (работник, как правило, не специалист в трудовом праве) - подается заявление на копии отметка работодателя о получении (ну или отправляется письмом с уведомлением). А вот если работодатель сочтет, что увольняться нельзя, то должен выдать мотивированный письменный отказ (который можно обжаловать).

Трудовой кодекс обязывает работника предупредить работодателя за 2 недели о расторжении трудового договора, там ни слова нет про отработать 2 недели. Где бы вы ни находились, в отпуске или больничном - вас обязаны уволить согласно вашему заявлению, спустя 2 недели, отсчет идет со следующего дня после получения вашего заявления об увольнении. Если отпуск был предоставлен авансом - удержат из заработной платы излишние и незаработанные дни, если будет из чего вычитать, поэтому работодатели и не любят отпуск авансом предоставлять.

да понятно это все, просто для упрощения эти 2 недели называют "отработка", потому что как видим люди совсем не знают законов, а уж терминов тем более не понимают. Так же как и отпуск по уходу за ребенком все называют "декрет" и всем становится ясно о чем речь. А так да, если работодатель не захочет вас держать, то можете уволиться хоть со следующего дня, после написания заявления.
В случае автора эти 2 недели "отработки" приходятся на отпуск

Да, при расчете при увольнении с Вас удержат переплату по отпускным. А если зп за февраль уже получили, а в марте отпуск - внесете переплату из своего кармана
Договоритесь с работодателем по обоюдному согласию, если нет - у Вас ещё испытательный срок раз с нг работаете? Тогда отработка не 2 недели, а три дня