Неверная задача на ЕГЭ

Question

В этом году на ЕГЭ (23 июня, профиль, резерв) была задача (17 номер, планиметрия):
В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите синус угла BMC, если известно, что отрезок ВМ в 7/3 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Была бы очень красивая задачка! Очень...
Но!
Нет, я никого не виню. Потому что изьян, и очень серьёзный изьян, очень глубок. И его трудно заметить даже специалисту.
Кроме того, формально (но лишь формально) эту задачу можно решить, получить ответ, и все три балла.
Так в чём же изьян?
Трагедия этой задачки в том, что представленного в ней (в части "б") треугольника НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Т.е.эта задача есть "задача на бутафорию".
Беда вот в чём. Длина отрезка BM действительно меньше или равна 3r (r - радиус вписанной окружности). Что и требуется доказать в части "а".
Но составители задачи, по видимому, недостаточно углубились в свой созданный треугольник, не проанализировали его "со всех сторон".
А если проанализировать, то становится ясно, что длина отрезка BM подвержена ещё более строгим ограничениям.
Можно показать, что длина отрезка BM не только не больше 3r, но и строго больше величины r*sqrt7.
А между тем число 7/3 меньше чем sqrt7.
Как показать, что длина отрезка BM строго больше sqrt7?
У меня здесь нет доски или бумаги, и мне затруднительно привести рассуждения. Но попробую "указать путь", а вы, если интересуетесь математикой, убедитесь сами.
Пусть вписанная окружность касается стороны AB в точке D. Пусть также F - точка этой окружности, диаметрально противоположная точке D.
Нетрудно видеть, что BD = r*sqrt3; DF = 2r; BF = r*sgrt7 (это вытекает из прямоугольного треугольника BDF).
Теперь рассмотрим треугольник BFM. Его угол BFM явно тупой, поэтому сторона BM треугольника BFM является наибольшей, и в силу этого превосходит длину стороны BF, т.е. BM строго больше r*sqrt7.
Задачу (хотя уже поздно, "поезд ушёл, баллы получены") можно спасти, если вместо 7/3 взять, например, sqrt8.
Тогда ответ части "б" будет
sinBMC = 5*(sqrt8)/16. И этот ответ реальный, как и сам треугольник.
А вот задачке на ЕГЭ (и её составителю) не повезло. Формально ответ (получается 11/21) получить можно, но это лишь бутафория. Ибо не может BM равняться (7/3)*r.

Гость · Accepted Answer

Да это ЕГЭ все усложняют и усложняют. Только не профмат вроде бы. Племянник говорил, что было несколько трудных задач, но реально на 70 баллов даже не с углубленными знаниями мог написать. Это помню у нас были экзамены в вуз — так это лажа полная, не то что нынешнее. Мы даже не знали, какие задания будут, а тут все есть — бери, решай, нарешивай!

Гость · Answer

При всех вузах были подготовительные курсы, а также продавались методички для подготовки к экзаменам.
Так что все поступающие знали какие вопросы будут

Гость · Answer

Ничего не поняла, но искренне порадовалась что 20 лет назад у нас был обязательным только ЕГЭ по русскому. По каким-то предметам тоже были ЕГЭ, но это были предметы по выбору. Бедные выпускники.

Гость · Answer

Поддерживаю на тему подготовительных курсов, но не во всех ВУЗах был перечень билетов в открытом доступе для абитуриентов + в некоторых ВУЗах отличался формат экзамена для платников и бюджетников.
В СПБГУ моей подруге дали ПРИМЕРНЫЙ список тем, которые могли быть на экзамене, причем, как я поняла, он был очень широким вроде: вторая мировая, эпоха возрождения, и все в таком духе. По английскому у них был письменный экзамен, там вроде был тест и сочинение на тему "Дом мечты", но список возможных тем им заранее не озвучивали.
В торгово-экономическом нам сразу сказали: вот методички, по ним и учитесь, экзамен будет ровно по методичке. Для бюджетников был письменный экзамен (хотя уже не помню точно) по обществознанию с полным раскрытием темы билета, а для платников - просто тест. Математика для всех была письменной, задачи 100% разбирали на курсах, как по мне, они были достаточно простыми, и там была только алгебра.

Неверная задача на ЕГЭ

Мудрость форума: Образование

Выбор редакции