Бхарат или Индия?

Мы привыкли к названию "Индия". Если переименуют - будет очень странно!

100%. Индийского кино будет не хватать.

Индия

Это их внутреннее дело, как себя называть официально. Мы, как называли Индией, так и будем называть.
Мы же не называем иначе Германию, Финляндию, Китай (погуглите, если интересно, как их "надо" называть). Даже наша Якутия официально называется Республика Саха, но говорим мы Якутия.