ТФКП - портал в иные миры? (2)

Уважаемые форумчане!
Быть может, вам будет интересно попытаться решить мои задачи, которые я даю ежемесячно (в конце месяца) своим второкурсникам в качестве контрольной проверки знаний по Теории функций комплексной переменной (ТФКП).
Представляю вашему вниманию вторую (октябрьскую) контрольную проверку. Может кто решит? Всё может быть...
Второкурсникам я преподаю важный раздел высшей математики - ТФКП.
Мир комплексных чисел! И знаете, открою вам тайну - смело можно утверждать, что комплексные числа - это портал в иные миры!
Хотя бы гляньте на завораживающие тексты задач, и вы ощутите это.
Ну для чего в жизни нужна математика? - спрашивают циники.
Я всегда так отвечаю им - математика не наука о жизни. И задачи её не от сего мира. Ибо именно математика открывает порталы в иные миры.
Я горжусь тем, что преподаю комплексный анализ. Именно его (надеюсь, вы читали) преподавала великая Ипатия (павшая в Борьбе за Будущий свет) в Университете, когда была призвана на Планету Предтеч (406 - 410 гг н.э.).
Напомню слова Ипатии: "Когда мы решаем геометрическую задачу, наш разум резонирует с Разумом Космома. А когда устремляем свой взор к звёздам, то мы как будто общаемся с Божеством, проливающим свет на наш мир".
А ведь комплексная плоскость - прекрасный полигон для геометрических задачек!
Именно комплексный анализ открывает путь в то зазеркалье, где любой многочлен имеет корни, где синус может превышать единицу, где логарифм не только не боится отрицательного аргумента, но и при любом ненулевом значении аргумента принимает бесконечное множество значений...
Итак, первое контрольное задание моим нынешним второкурсникам...
Пишите своё мнение. И...Свои ответы, если попытаетесь решать.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(контрольная проверка Nr 2)

1) Найти множество всех натуральных значений m, при которых многочлен
(z + 1)^2m + (2z)^m + 2^(m+1)
делится на двучлен
z^2 + 1.
2) Комплексные координаты вершин треугольника ABC равны
z(A) = - 3 + 4i; z(B) = 5; z(C) = 5i.
2.1) Найти комплексную координату основания C1 высоты CC1 треугольника ABC.
2.2) Сформулируйте теорему девяти точек (Эйлера) треугольника. Напишите уравнение окружности Эйлера данного треугольника ABC. Ответ представьте в виде |z - a| = R.
3) Найти образ окружности |z|=1, полученный преобразованием
w(z) = |z|^2 - i*Re(z^2).
4) Теорема Коши-Римана.
4.1) Сформулируйте и докажите теорему.
4.2) Найти аналитическую функцию w(z), для которой
Imw(z) = v(x, y) = 2xy + 2y, w(1) = 3.
4.3). Докажите, что образами прямых Rez = 1 и Imz = 1 при преобразовании w(z) = z^2 + 2z являются параболы. Методом градиентов докажите ортогональность этих парабол.
4.4). Найти образ окружности |z| = 1, полученный преобразованием
w(z) = z^2 + 2z.
5).
5.1) Дана область комплексной плоскости C(z):
D = {z | |z| больше 1, Rez меньше 1}.
Докажите, что функция w(z) = 1/(z - 1) преобразует область D в полосу комплексной плоскости C(w):
E= {w | -1/2 меньше Rew меньше 0}.
5.2) Найдите какую либо линейную функцию, отображающую полосу
E = {z | -1/2 меньше Rez меньше 0}
на полосу
T = { w | 0 меньше Imw меньше 3}.