ТФКП - портал в иные миры?

Уважаемые форумчане!
Быть может, вам будет интересно попытаться решить мои задачи, которые я даю ежемесячно (в конце месяца) своим второкурсникам в качестве контрольной проверки знаний по Теории функций комплексной переменной (ТФКП).
Представляю вашему вниманию первую (сентябрьскую) контрольную проверку. Может кто решит? Всё может быть...
Второкурсникам я преподаю важный раздел высшей математики - ТФКП.
Мир комплексных чисел! И знаете, открою вам тайну - смело можно утверждать, что комплексные числа - это портал в иные миры!
Хотя бы гляньте на завораживающие тексты задач, и вы ощутите это.
Ну для чего в жизни нужна математика? - спрашивают циники.
Я всегда так отвечаю им - математика не наука о жизни. И задачи её не от сего мира. Ибо именно математика открывает порталы в иные миры.
Я горжусь тем, что преподаю комплексный анализ. Именно его (надеюсь, вы читали) преподавала великая Ипатия (павшая в Борьбе за Будущий свет) в Университете, когда была призвана на Планету Предтеч (406 - 410 гг н.э.).
Напомню слова Ипатии:
"Когда мы решаем геометрическую задачу, наш разум резонирует с Разумом Космома. А когда устремляем свой взор к звёздам, то мы как будто общаемся с Божеством, проливающим свет на наш мир".
А ведь
комплексная плоскость - прекрасный полигон для геометрических задачек!
Именно комплексный анализ открывает путь в то зазеркалье, где любой многочлен имеет корни, где синус может превышать единицу, где логарифм не только не боится отрицательного аргумента, но и при любом ненулевом значении аргумента принимает бесконечное множество значений...
Итак, первое контрольное задание моим нынешним второкурсникам...
Пишите своё мнение. И...Свои ответы, если попытаетесь решать.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(контрольная проверка Nr 1)

1) Найти значение выражения
(1 + i)^6 * (sqrt3 - i)^4 + (1 - i)^6 * (sqrt3 + i)^4.

2) Дана окружность L на комплексной плоскости:
| z - a| = R.
Точки A(0) и B(1) являются симметричными относительно окружности L.
Точка C(i) принадлежит окружности L.
Найти значения a и R.

3) Множество точек комплексной плоскости
{ z | arg(z^2) = 3π/4} - прямая y = kx, где x=Rez, y=Imz.
Найти значение коэффициента k.

4) ABCD - положительно ориентированный квадрат на комплексной плоскости, две его вершины A(2 - i) и D(1+2i).
4.1) Найти комплексные координаты вершин B и C.
4.2) Напишите уравнение окружности, описанной около этого квадрата. Ответ представить в виде |z - a| = R.
4.3) Найти комплексные координаты точек пересечения около квадрата описанной окружности с действительной осью.

5) Хорда AB окружности |z - m| = R (m и R - действительные числа) параллельна действительной оси. Комплексные координаты точек A и B соответственно равны a и b.
a) Доказать равенство:
(a - m)(b - m) = - R^2
b) Выразить Re(a + b) через m.

6) В окружность |z| = 1 на комплексной плоскости вписан правильный восьмиугольник ABCDEFGH, множество вершин которого
D = { 1, p, p^2, p^3, p^4, p^5, p^6, p^7}.
Здесь p = cos(2π/8) + i*sin(2π/8).
6.1) Доказать, что векторы (p^4 - 1) и (p^3 - p) являются сонаправленными.
6.2) Доказать верность равенства:
AE - AC = AB*sqrt(2 - sqrt2).

P.S. На картинах:
1) Авторша сиих строк.
2) Великая Ипатия (в начале 5 века н.э. погибшая в Борьбе за Будущий свет) со студентами.