Может ли учитель написать докладную на второклассника?

ну это по сути расписка в собственной профнепригодности

Теоретически возможно. Но в случае систематических нарушений.
Например, ученик систематически забывает тетради и не делает уроки.

Ну вот у меня была отличная учительница в начальных классах.
И был одноклассник-хулиган. Ну, там, ломал всё в школе, учеников бил. Ну учительница как могла с ним, так работала с ним. И по-хорошему, и строго - ничего не помогало. В конце-концов он учительницу побил-покусал (в 1 классе) и его в спец. школу перевели.

Если второкласник редкий кандон, то да. Отвечать будут родители. Но сейчас по новому закону, просто можно тупаря выкинуть в окно.

Конечно. Пишите, если Вы учительница. Вызовут родителей на разговор с классным руководителем и одним из завучей. Это лучше, чем выискивать телефон родителей, а на Ваш звонок никто не возьмёт трубку :)