Должна ли я отрабатывать две недели?

Могут.

Нэт.

Открывайте ТК РФ, там чёрным по белому, на испытательном сроке отработка составляет три дня. Если есть желание у сотрудника, тогда он может и две недели отработать.
Я так увольнялась, наглая кадровика сказала "нужно две недели!", я ответила, что на испытательном сроке, так прописано в кодексе, всё, вопрос отпал, хотела меня обмануть. Уволили через три дня по собственному желанию с расчётом в последний день. В заявлении на увольнение пишите "в соответствии со статьёй 71 ТК РФ, прошу уволить меня по собственному желанию такого-то числа" указываете то число от даты подписания заявления по истечении трёх дней. Например заявление подписываете 7.12.2020, а прошу уволить 10.12.2020г.
Читайте ТК РФ - СТАТЬЯ 71 - Если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня.

Спасибо большое за подробный ответ!

Три календарных дня.
В пятницу пишите заявление на увольнение, понедельник - последний день работы.

Нет. Хотя посмотрите договор.