В Москве сейчас высокий спрос на съемное жилье, и соискатели целую анкету о себе заполняют, которую шлют потенциальному наймодателю (и на циане, и в каналах в телеге) - они пишут свой возраст, кем и в какой сфере работают, пишут, какие они тихие, аккуратные, не пьющие, не курящие, ответственные и платежеспособные, с кем планируют проживать (муж, дети, животные, сожитель и проч) и прикладывают свою фотку. В маленьких городах, насколько я знаю, такое не принято во всех подробностях, но все равно нужно рассказать, чем вы занимаетесь и с кем будете жить. В Москве квартира сдается за один-два дня, если она нормальная. Вы просто приезжаете на просмотр с деньгами и подписываете договор, если всех все устраивает. Если вы отложите на завтра, эту квартиру могут снять другие люди. В маленьком городе квартира может сдаваться и месяц, и несколько месяцев. Как разговор начинать - ну я не знаю, так и спрашиваете, когда можно приехать на просмотр, дальше пишете, чем занимаетесь - кем работаете и почему хотите снять эту квартиру (например, вы рядом учитесь или работаете, или ваши дети ходят в школу неподалеку и тд). Вообще нет никакого "правильно", главное удостовериться, что собственник квартиры на самом деле собственник, у него есть с собой паспорт и все необходимые документы, и что он подписывает договор найма. Ну и что в квартире нет сюрпризов в виде тараканов, клопов, плесени на стенах, сломанной техники (у меня в одной съемной квартире был холодильник с погрызенным сетевым шнуром, который мог шибануть током в любой момент), что вся сантехника исправна и так далее. Еще нужно понимать, что если вы снимаете квартиру не в более-менее приличном районе к ближе центру, а где-то на окраине в спальнике, там будет соответствующий контингент - соседи безумные бабки, соседи буйные алкаши и наркоманы, соседи- зеки, мигранты, многодетные маргиналы с кучей бешеных шумных детей, а все подъезды нашпигованы закладками. В Москве еще и тараканы везде.