В ожидании юбилея Принцессы (13)

Question

Осознала волю Вселенского Разума, и се её исполняю.
Итак, вперёд! Задача!
13) Даны две параллельные прямые, a и b.
На прямой a обозначено n красных точек, на прямой b обозначено m красных точек. И n, и m больше единицы.
Затем были построены все возможные треугольники, вершины которых находятся в красных точках.
13.1 Сколькими способами можно выбрать пару (двойку) красных точек прямой a?
Решение: Первую красную точку выбираем n способами, вторую (n - 1) способами. Пару (двойку) красных точек можно выбрать n(n - 1)/2 способами.
Замечание: Если не разделим на 2, то каждую пару точек учтём два раза, например, как A, B и B, A, хотя это одна и та же пара.
Ответ: n(n - 1)/2.
13.2 Докажите, что число всех возможных треугольников с вершинами в красных точках может быть вычислено по формуле
N = nm(n + m - 2)/2.
13.3 Число всех треугольников с вершинами в красных точках равно 759. Найти общее число красных точек, т.е. найти n + m.
Чем знаково число сие?

13-е привидение · Accepted Answer

Ну, доказать-то просто:
количество треугольников, где 2 угла - это 2 точки на прямой А и 1 точка на прямой В будет m(n(n-1))/2
и наоборот, если 2 угла - точки на В и 1 угол - точка на А: n(m(m-1))/2
всего треугольников:
m(n^2 - n)/2 + n(m^2 -mn)/2 = (mn^2 - 2mn + nm^2)/2 = nm(n + m - 2)/2

Но как решать nm(n + m -2) = 1518 (759 умноженное на 2) я вообще без понятия и чё-то даже в интернете вариантов не нашла.
Подозреваю, что, как во многих твоих задачах, отдельно m и n находить не надо, только их сумму... но один фиг не знаю как это сделать 😢
Напиши потом решение, интересно...

Принцесса Эльза · Answer

Прекрасно, давай сотрудничать:)
Во первых, я очень рада, что тебе было "просто" доказать формулу (2 часть задачи). Для большинства людей (и даже учащихся) это вряд ли было бы просто. Так что прекрасно!
Теперь о третьей, последней части.
Действительно, следует обе части равенства умножить на 2. Получаем
mn(m + n - 2) = 1518
Разложив 1518 на простые множители, придадим равенству вид такой:
mn(m + n - 2) = 2*3*11*23.
Теперь надо чуток подумать, как из четырёх сомножителей правой части "склеить" три сомножителя левой части, т.е. натуральные числа m, n, m + n - 2.
Это в принципе не сложно. Удачи!

13-е привидение · Answer

И еще: т.к. все задачи юбилейные и до сих пор имели 3 варианта ответов: 9, 25 или 1998 - можно схитрить и подобрать)))
m + n - 2 будет в таком случае 7 или 23 или 1996
то, что 1996 при умножении на произведение целых чисел 1518 никак не даст - ежу понятно)))
на 7 число 1518 без остатка не делится а вот на 23 - да, 1518/3 = 66
66 в свою очередь = 22*3, а 22+3 как раз равно 25)))
т.е. на одной прямой 3 точки, на другой - 22.
Но так, конечно, "решать" неправильно - если предполагается, что заранее варианты ответа неизвестны.

13-е привидение · Answer

Ну, тоже путь-то уж больно хитровыделанный))) И в итоге все равно заканчивается подбором. Я думала, тут как-то формулу вывести можно, преобразовав исходное выражение.
Я, как видишь, нашла другой хитровыделанный и совсем уж нечестный путь - свой пост писала еще не видя твоего ответа)))

13-е привидение · Answer

двойку пропустила - 1518/23=66

Принцесса Эльза · Answer

Верно.
m = 22, n=3, m + n = 1518.
Подбор из конечного (в силу целостности сомножителей и известного разложения на простые множители) множества тоже является полноценным решением.

В ожидании юбилея Принцессы (13)

Найденные слова