Мнимые числа. Зазеркалье или новый реал? (1)

"ЗАЧЕМ ЭЙЛЕР СИЕ СОТВОРИЛ"?

В 18 веке Леонард Эйлер ввел МНИМУЮ ЕДИНИЦУ.
Обозначается i . Он ее ввел как значение квадратного корня из минус единицы, и таким образом "сделал возможным" извлечение квадратного корня из отрицательных чисел.
Последнюю фразу я сформулировала "до публицистики неточно", но и 18 век строгостью формулировок не блестел.
Сегодня мы уже знаем,-квадратный корень из (- 1) не i, а мгожество
{i, -i}. Дело в том, что существование квадратного корня из отрицательного числа зависит не от наших знаний ("еще поучились, и уже извлекается"), а от числового множества, на котором выполняются действия.
На множестве действительных чисел (взаимно однозначно соответствующем множеству точек числовой прямой) значения квадратного корня из отрицательного числа не существует. Как, например, на множестве целых чисел не существует решений уравнения 2х=3.
Но есть множество мнимых чисел {а+bi}, на котором уравнение x^2 =-1
имеет, причем два, решения. Это и есть i и (-i).
Обьединение множества действительных чисел и множества мнимых чисел носит название множества комплексных чисел.
На множестве комплексных чисел не определено понятие "знак числа". Его заменяет более общее понятие-аргумент (его не будем рассматривать). Именно поэтому нет признака, по которому можно "выделить" одно из решений уравнения x^2= - 1, и квадратный корень из (-1) отождествляется с множеством {-i, i}. В то время как на множестве действительных чисел корни (если существуют) однозначны, например, квадратный корень из 1 равен 1 ( а не плюс минус 1).
На множестве комплексных чисел любой корень n-ой степени из 1 имеет n рпзличных комплексных значений, образующих на плоскости вершины правильного n-угольника. Это удобно применять для решения сложных геометрических задач.
(Продолжу)