Волнистый попугай

Можно, проголодается, пойдет в клетку, закроете

Не рекомендую, пусть осмотримся и привыкнет к комнате.

Можно. Нельзя только если он боится вас и обстановки. А раз не боится - пусть идёт.
Если клетка для него новая - он не сразу может потом найти в неё вход.

Еще загадит всю квартиру, и улетит в форточку

Рано. Он ещё к клетке не привык и домом ее не чувствует, чтобы возвращаться.

Спасибо)) да, клетка новая

Если самец и не боится рук - можете выпускать: далеко от вас он не улетит. Только окна-двери предварительно закройте.

Безусловно. Его обязательно надо выпускать иногда