Увольнение

Конечно нет. Пишите заявление, передаете его в отдел кадров и все

Нет.

Он должен на заявлении ставить свою резолюцию? У меня в организации без подписи начальника отдела и директора кадры заявление не примут

Это нарушение тк, не принимают, отправляйте по почте

Нет. Решение принимает человек, который имеет на это право.

Это касается отпусков, отгулов и т.п. Заявление на увольнение в резолюции не нуждается.

Зам должен быть.

Если уходите по собственному желанию, то заявление с проставленной датой и своей подписью несёте в канцелярию или отдел кадров - как там у вас. Его должны зарегистрировать, т.е. поставить штамп, подпись, скопировать и отдать копию вам на руки. Эта копия будет свидетельством того, что вы информировали работодателя. Дальше работаете 2 недели. Через 2 недели вам обязаны дать трудовую, если вы с ней оформлялись. Можно не отрабатывать 2 недели. ТК разрешает это, если руководство согласует с вами срок отработки. Но официально он не превышает 2 недель. Если у вас на эти 2 недели запланирован отпуск, то вы можете в него сходить и уволиться по возвращении. Вы можете отозвать своё заявление об уходе в течение 2 недель с момента подачи. Тогда вы продолжаете работать.

Ещё хотел добавить, что никакой резолюции начальства на заявлении не нужно проставлять. Обычно на практике руководитель пишет резолюцию или просто визирует заявление. Но по ТК это не является обязательным.