Как не отпрашиваться с работы?

Не слышал, вообще эта пятидневка рабство...

О каких конкретно гос.органах идет речь? Куда именно вам не попасть за справкой в рабочие часы?

Брать дни за свой счёт, если не отпускают.

Это уважительная причина. Должны отпустить с работы с сохранением заработной платы (т.е. за счет работодателя).
_
Любая деятельность, направленная на исполнение законов и обязанностей гражданина должна поддерживаться работодателем максимально. Потому что иначе получается, что работодатель препятствует исполнению закона, а это уже преступление.
Нормальные работодатели спокойно отпускают с работы во всех случаях, связанных с государством, исполнением долга, обязанностей и т.п.
Поэтому идите к начальнику своему и объясните ситуацию именно так.

а почему нельзя отпроситься?

А вы отпрашивайтесь уверенно-утвердительно. Подошла к руководителю и сказала: Сан Саныч , я уйду завтра в 16-00, мне надо в налоговую. Главное не злоупотреблять с отпрашиванием, и вас всегда будут отпускать.