Принцесса Эльза, задача о девушке и монстре

Позже посмотрю. Большая занятость.

Хорошо. В этот раз все решается аналитическими методами 😸

Была задумка такая.
Девушка идет по диаметру в сторону ОТ монстра. Монстр одновоеменно начинает движение по окружности. В момент, когда монстр поравняется с девушкой (окажется на одном уровне, перпендикулярном диаметру), девушка резко поворачивает на прямой угол, и опять движется от монстра.
Девушка совершила поворот в точке А в сторону от монстра, находившегося в точке С (СА перпендикулярна ОА, где О- центр окружности.
Девушка намеревается пересечь окружность в точке А.
Пусть радиус окружности равен 1, скорости девушки и монстра 1 и 4.
Обозначим величину угла СОА ( равно ВОА) х (радианов).
Тогда путь девушки AB=sinx.
Путь, который должен будет преодолеть монстр, равен длине дуги СВ, т.е 2х. Время движения девушки sinx, время движения монстра 2x/4 = x/2
Величина угла х -решение уравнения
пи - х = 4cosx
Удалось приближенно найти. х приближенно 1 радиан.
Мечта сбылась бы, если верно неравенство
sinx < x/2.
Однако sin1 больше чем 1/2.
Не выходит. Иных задумок нет.
Буду ждать Вашей версии.

Решение задачи сводится к тому, чтобы найти такой алгоритм, при котором девушка достигнет краев круга быстрее, чем монстр (за меньший промежуток времени).
Очевидно, что девушка сможет спастись, если выполняется неравенство: R/v < Pi*R/(4*v), где R - это радиус круга, а v - скорость девушки, при котором время, потраченное девушкой на побег, меньше времени, потраченное монстром (случай, когда девушка бежит от центра круга до его границы, а монстр пытается ее догнать, пробежав половину длины окружности Pi*R по часовой стрелке или против). Упростив R/v < Pi*R/(4*v) → 4*R < Pi*R, понимаем, что неравенство не выполняется, независимо от величины R, т.е. девушка не спасется, если она начнет движение от центра круга до границы круга, независимо от угла ее движения.

(Продолжение)

Применим правильную тактику:
1) Девушка должна немного отдалиться от центра круга, сократив расстояние до границы круга на некое значение x.
2) Потом она останавливается и начинает круговое движение, смысл которого в том, чтобы достигнуть разницы 180 градусов (т.е. когда она, монстр и центр круга находятся на одной прямой).
3) Далее она бежит прямо до границы круга так, чтобы монстр не успел пробежать половину длины окружности круга (в этот раз ей уже не придется пройти полное расстояние, равное R).
Сперва найдем насколько нужно сократить расстояние от девушки до границы круга: (R-x)/v < Pi*R/(4*v) → 4*(R-x) < Pi*R. Получается, что R нужно сократить на x > R-Pi*R/4 (x ≳ 0,215*R). В этом случае девушка может добежать до границы круга, а монстр не успеет сделать пройти половину длины окружности.
Но здесь есть один нюанс. Если мы сократим наш радиус чрезмерно, то девушка не сможет добиться 180-градусной угловой разницы с монстром, когда и она и монстр будут делать круговые движения, ибо с сокращением радиуса уменьшается её круговая скорость, т.к. увеличивается длина окружности по которой она бегает. И тогда все наши расчеты теряют смысл, ведь мы полагали, что мы сможем вынудить монстра пробежать дистанцию Pi*R и девушка за это время добегла бы до границы круга.
Нам нужно, чтобы круговая скорость девушки была больше круговой скорости монстра. Монстр бежит в 4 раза быстрее, следовательно у девушки круговая скорость будет больше лишь в случае, когда длина окружности, по которой она бежит, будет в 4 и более раза меньше длины окружности круга: 4*2*Pi*(R-x) < 2*Pi*R. Такое возможно в случае x > 3*R/4 (x > 0,75*R).

(Продолжение)

Т.е. несмотря на то, что уже отдалившись от центра круга на x > R-Pi*R/4 (x ≳ 0,215*R) девушка успевает добежать до его границы, она может добиться успеха только в случае, если будет набирать 180-градусную разницу с монстром, бегая по окружности с r < R-3*R/4 → r < R/4 (r < 0,25*R).
Итак, девушке нужно отдалиться от центра на некое расстоянии x, где R/4 > x > R-Pi*R/4 (0,25*R > x ≳ 0,215*R), а далее, имея преимущество в круговой скорости, сделать так, чтобы монстр отстал на 180 градусов и после пройти расстояние R-x до границы круга и спастись.

Да, до этого момента все понятно. Первоначальное удаление девушки от центра (оно же-и радиус малой полуокружности, по которой девушка продолжит движение)
x > 0,215R.
Однако все это имеет смысл лишь в том случае, если девушка окажется в верхней (скажем так) точке малой окружности как раз в тот момент, когда монстр окажется в нижней (противоположной) точке большой окружности.
Это достигается, если х удовлетворяет равенству
pi*R = 4(x + pi*x),
Т.е путь девушки (часть радиуса плюс малая полуокружность) в четыре раза меньше пути монстра (большая полуокружность) за это же время.
Но выражая из этого равенства х, мы к разочарованию своему получим
х=0,1896R,
т.е. полученное значение х не удовлетворяет ранее полученному неравенству
х>0,215R.
Не катит, как говорят земляне:)
Пробовала я вчера множество вариантов. И этот в том числе.

Нет, вы не прочли мои выводы.
Отдалившись от центра круга на некое расстояние в диапазоне 0,215*R - 0,25*R, у девушки есть преимущество в круговой скорости, она может создать любой угол, в том числе и 180 градусов. Создав такой угол, она победить уже к границе круга

*победить=побежит

1) При отдалении от центра круга на 0,215*R или на большее значение, расстояние между девушкой и границей круга становится такой, что она ее проходит раньше, как монстр сделает полукруг.
2) Чтобы девушка имела преимущество в круговой скорости, ей нужно отдалиться от центра круга на расстояние не больше 0,25*R.
Таким образом мы получаем нужный диапазон, ограниченный двумя значениями. Отдалившись от центра круга на значение в пределах этого диапазона решает задачу.

"Однако все это имеет смысл лишь в том случае, если девушка окажется в верхней (скажем так) точке малой окружности как раз в тот момент, когда монстр окажется в нижней (противоположной) точке большой окружности."

Говорю же, что отдалившись на расстояние не более 0,25*R у девушки преимущество в круговой скорости. Она и только она теперь решают, какой угол будет между ними. Захочет 180 - будет 180, монстр не помешает ей.

Вы не путайте круговую скорость w с обычной скоростью v. Последняя не меняется у наших героев на протяжении всей задачи. В то время как круговая скорость меряется количеством оборотов на квант времени и такая скорость девушки меняется в зависимости от ее расположения от центра..

Я не буду использовать "круговую" (угловую) скорость, мне достаточно линейной.
Как я уже обосновала, девушка не сможет достич такого х (радиуса малой полуокружности), который попадает в ваш интервал. Чтобы после прохождения малой полуокружности девушка и монстр оказались диаметрально противоположными, х должен быть 0,1896R, т.е. не попадает в ваш интервал

РЕШАЮЩИЙ АРГУМЕНТ.
Возьмем для упрощения рассчетов R=1, скорость девущки 1, скорость монстра 4. Возьмем значение х (удаление от центра) х=0,22, т.е. из Вашего интервала. И проведем банальные рассчеты.
1) Девушка на удаление от центра и малую полуокружность затратит время
(0,22 + pi*0,22)/1= 0,9108.
2) За это время монстр, двигаясь по окружности радиуса R=1, проходит путь (дугу), равный 4*0,9108= 3,6432.
3) Девушке осталось пройти путь (до границы) R -х=1- 0,22=0,78. Она его пройдет за время 0,78/1= 0,78.
4) Монстру осталось пройти путь 2*pi*R - 3,6432= 2*3,14*1 - 3,6432=2,6368. Он его пройдет за время
2,6368/4= 0,6592.
5) Как видим, монстр достигнет интересующей нас точки окружности быстрее, чем это удастся девушке. Ибо 0,6592< 0,78.
Конкретные и очевидные рассчеты.
Как говорится, факты вещь упрямая:)

Объясняю решение еще раз.
1) Девушка отдаляется от центра на некое расстояние "x", которое больше 0,215*R (если хотите точное значение, то R-Pi*R/4). Ведь, именно при x больше 0,215*R девушка успевает добежать дистанцию R-x раньше, чем монстр сделает полукруг.
2) В то же время, девушка не должна отдалиться больше 0,25*R (R/4), дабы не потерять круговую скорость, что очень важно для получения 180 градусной разницы.
3) Итак, отдалившись от центра круга на некое значение x, который обязательно должен лежать в диапазоне 0,215*R-0,25*R, девушка останавливается. Нам не важно, где находится монстр в момент ее остановки (он может быть на расстоянии от мин R-x до макс R+2*x от девушки).
4) Девушка начинает круговое движение вокруг центра круга. Т.е. как монстр, так и сама девушка, вращаются возле центра круга. Монстр вращается по окружности радиусом R, а девушка - по окружности радиусом R-x. Учитывая, что мы учли п.2 и девушка имеет большую круговую скорость (т.е. за одно и то же время она вращается на больше радиан, чем монстр), то она и только она управляет всей ситуацией. Если монстр бежит по часовой стрелке, то она бежит против часовой стрелки, если монстр меняет направление, то и она меняет на противоположное. Таким образом, она создает ситуацию, в которой она, монстр и центр круга находятся на одной прямой, причем угол между девушкой и монстром 180 градусов.
4) После девушка прекращает вращение и просто проделывает последнюю дистанцию до спасения R-x (монстр не успевает сделать полукруг, чтобы догнать ее).

Проще объяснения уже не найти) Я не понимаю, что за цифры и откуда вы их берете. А выражение " не буду использовать круговую скорость" равносильно тому, что "не буду правильно решать", а "буду мерять углы метрами".

Нам не важно, сколько времени девушка затратит на отдаление от центра круга. Она может сделать это за минуту, за час, может хоть остановиться в середине и покурить) И нам все равно, что будет делать монстр. Важно, чтобы она была отдалена на нужное расстояние перед началом вращения.

Наш секундомер начнет только тикать, когда девушка будет проделывать расстояние R-x, а монстр Pi*R

У вас проигрышный алгоритм, при котором ваша девушка бежит до границы круга, не имея 180-градусной разницы, следовательно, конечно же, она не успевает)

Я привела подробные вычисления. Поэтапно.
180- градусной разницы при х=0,22 (мой пример) и не будет, т.к, пока девушка удалится от центра на расстояние 0,22 и опишет полуокружность радиуса 0,22, монстр опишет более половины своей окружности.
180 градусная разница (после того, как девушка пройдет путь, равный
x + pi*x) осуществится лишь в том случае, если
(x + pi*x)/1 = pi*1/4,
т.е. при х=0,1896. А это значение не принадлежит указанному вами интервалу.

Нет, вы проделываете вообще непонятный алгоритм.
Делайте то, что описано в 15 сообщении - там правильный алгоритм.
Единственное я допустил пару опечатков: пронумеровал 4 и 5 пункты одной цифрой и девушка вращается по окружности радиусом х, а не R-x, как я там указал

Вы абсолютно не читаете мои комментарии.
Говорю в который раз, нам плевать, где будет монстр в момент, когда девушка отдалилась от центра. Это не имеет значения. Также нас не должно интересовать время во время отдаления девушки от центра круга и во время вращения по малой окружности.

Это неверный подход.
В п.4 сообщения 15 описано, как девушка достигает 180 гр разницы, причем время на достижение этой задачи неограничено.

Возьмите радиус малой полуокружности х=0,22 (оно из вами полученного интервала), радиус большой окружности 1, скорость девушки 1 (условная единица), скорость монстра 4 (условные единицы), и выпишите поэтапно. Кто куда движется, в какую сторону, кто какой путь прошел, и за какой промежуток времени. Получатся конкретные данные. Тогда и посмотрим.
Иначе пусть каждый останется при своем мнении.

Это невыполнимо и вы должны были это понять из моего ответа № 15.
Все дело в том, что в этой задаче невозможно использовать время в конкретных величинах, т.к. мы не можем заранее знать, как поступит монстр в той и иной ситуации (мы всего лишь управляем девушкой, а ее действия зависят от действий монстра).
1) Девушка отдаляется от центра на расстояние х. В это время мы не знаем, что делает монстр: он может вообще не двигаться, а может пойти по часовой стрелки или против. А может вообще немного пойти и остановится. Тут одним словом хаос. Но нам местонахождение монстра, как и время на данном этапе интересовать не должно.
2) Отдалившись от центра на расстояние х, девушка начинает вращаться по окружности с радиусом х. Она вращается, пока не создаст 180 градусный угол между ней и монстром. Тут тоже нам не нужно время, ведь время на совершения этого процесса зависит как от текущего местоположения монстра, которое нам неизвестно, так и от действий монстра, которые мы не можем предугадать. Тут главное лишь то, что мы точно знаем, что рано или поздно у девушки получится создать такой угол, ведь было точно доказано, что ее круговая скорость больше круговой скорости монстра. Как бы монстр не двигался, девушка создаст эту 180 гр разницу. Но время, ещё раз говорю, на создание этого угла вычислить теоретически невозможно и это нам и не нужно.
3) Создав этот угол, девушка бежит к границе круга и спасается. Вот, тут вы можете уже брать произвольные величины и проверить даже время. Девушка добежит раньше свои R-x, чем монстр совершит полукруг Pi*R.

Вы же, когда решаете, почему-то описываете действия ещё и для монстра (пойдет он по дуге или нет и т.д.), что противоречит условию задачи. Монстр он сам решает, что ему делать и за какое время ему это делать. Разумеется он не захочет легко отпустить девушку, но как он это сделает зависит от него. По условию, ваша задача лишь предложить алгоритм для девушки, который приведет к успеху независимо от действий монстра.