меня хотят "прокатить" с официальным трудоустройством

Меня по юности много раз прокатывали. Два раза не оплатили по месяцу! Поэтому: работать приступайте ТОЛЬКО после подписания трудового договора. Один экземпляр - у него. Один остаётся у Вас. С подписями и печатью

Автор требуйте ТД и попросите свою трудовую или копию трудовой проверить есть ли там запись о трудоустройстве

Тоже правильно. Но договор обязателен. В трудовой книжке вы не увидите сколько часов в неделю вы работаете. Знакомая так накололась. Оказалось, что она работала по 2 часа в день!

Стопудово, да, они хотят наепать тебя. Просто боятся, что ты настучишь в Налоговую, вот и делают вид.

Все правильно Вы поняли.

Кстати, даже после подписания договора и записи в трудовой работодатель можно спокойно не платить за Вас налоги или платить копейки, Вы это никак не узнаете пока не обратитесь с запросом в ПФР. Знаю такие случаи. Так что, кинуть могут в любой момент :(
Что касается карты, то так называемая зарплатная карта открывается только в рамках зарплатного проекта, это отношения между компанией и банком. Если сотрудник должен сам оформить карту, то он открывает обычную дебетовую карту, какую сам выберет, и банку все равно для каких она целей - хоть для з/п хоть для взносов от любовника :)