Кто даст правильный ответ? Об этом все молчат

Приветствую, уважаемые форумчане!
Всем известно ("написано на каждом столбе"), что длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, образованного этими векторами.
Я люблю на своих лекциях писать так:
|a x b| = S{a, b}.
Конечно, а и b здесь векторы, но на компе я не умею над a и b поставить стрелочки.
В сказанном заключается геометрический смысл длины векторного произведения.
А теперь вопрос к вам:
А каков геометрический смысл модуля скалярного произведения двух векторов a и b?
Скалярное произведение двух векторов - это не вектор (как векторное произведение), а число, поэтому здесь я говорю не о длине, а о модуле.
Итак, каков геометрический смысл модуля скалярного произведения векторов a и b?
Дам лишь одну подсказку - правильный ответ тоже связан с параллелограммом. Но как?
До этого несложно додуматься (достаточно даже школьной математики). Но вот почему то об этом все молчат.
Для интереса спрашивала своих коллег на кафедре. Никто не ответил. Скажу больше, никто даже подумать не захотел. Выражения лиц говорило - "отстань, Эльза, я спешу, у меня дела...".
И таких преподов - пруд пруди!
А прошлой осенью (точнее, уже зимой) ни один студент на моём экзамене по аналитической геометрии не получил 5.
Почему?
Каждому претенденту на 5 я задавала этот же вопрос. Не ответил никто.
Люди разучились думать.
Итак, дорогие форумчане,
КАКОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ a и b?