На окружности обозначено n точек (n не менее 4).
Случайным образом выбираются два отрезка (две хорды), не имеющие общего конца.
Какова вероятность, что эти хорды не пересекаются? #задача
50 на 50
для n = 4, вероятность, что хорды не пересекаются равна 2/3
сейчас подумаю для других n
Количество способов соединения 2*n точек на окружности n непересекающимися хордами равна n-му числа Каталана.
Эльза, я в правильном направлении думаю?
Вероятность вроду получается:
P = 2^r / (r+1)!
r - количество пар хорд
Количество способов соединения 2*n точек на окружности n непересекающимися хордами равна n-му числа Каталана.
Эльза, я в правильном направлении думаю?
Слишком сложно.
Вероятность при любом n равна 2/3.
Вероятность вроду получается:
P = 2^r / (r+1)!
r - количество пар хорд
Эльза, это правильная формула, выведена из Каталана.
Только это нужно для случаев, когда мы берем не 2 пары, а больше.
т.е. в твоем условие случайно выбирают 2 пары, то r = 2
P = 2^2 / (2+1)! = 2/3
Эльза, это правильная формула, выведена из Каталана.
Только это нужно для случаев, когда мы берем не 2 пары, а больше.
т.е. в твоем условие случайно выбирают 2 пары, то r = 2
P = 2^2 / (2+1)! = 2/3
Я ничего против не имею.
Только я предпочитаю такое решение, в ходе которого ясно, "откуда ноги растут"
РЕШЕНИЕ
Одну хорду можно выбрать a = n(n - 1)/2 способами.
Другую (не имеющую концов в уже выбранных точках) можно выбрать
b = (n - 2)(n - 3)/2 способами.
Итак, две хорды, не имеющие общих концов, можно выбрать
N = a*b / 2 = n(n -1)(n - 2)(n - 3) / 8.
А сколько есть способов выбрать две пересекающиеся хорды?
Ровно столько, сколько можно создать различных выпуклых четырехугольников с вершинами в обозначенных точках! Т.е.
M = n(n - 1) (n - 2)(n - 3) / 4!
Итак, вероятность, что хорды ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, равна
M/N = 1/3.
А вероятность противоположного события равна 2/3.