У меня возник вопрос о тригонометрических производных

Корень над всей функцией стоит или только над 2x?

над всей

В первую очередь высчитывается производная корня квадратного. Корень квадратный можно написать ещё степенью 1/2.

1/2—1=—1/2.

Степень 1/2 выносится перед функцией как множитель, получаем 1/2 * (cos)^(—1/2)) * (—2sin(2x)).

2 в числите и 2 в знаменателе, они сокращаются

y'=-sin2x/2rootcos2x

Это неправильный ответ. В знаменателе двойки не должно быть. Она сокращается с двойкой от производной 2x в числлителе

допустим есть функция y=sqrt(cos(2x))=cos(2x)^(1/2)

Распишем композицию трех функций w1∘w2∘w3=w1(w2(w3(x))
w1(w2)=w2^1/2
w2(w3)=cos(w3)
w3(x)=2x

Дифференцируем w1 по w2
(x^(1/2))'=(1/2)x^(-1/2) ///т к 1/2-1=-1/2

w1(w2)=w2^(1/2)
w1_w2=(1/2)*w2^(-1/2)

Дифференцируем w2 по w3
w2(w3)=cos(w3)
w2_w3(w3)=-sin(w3)

Дифференцируем w3 по x
w3=2x
w3_x=2

Если мы дифференцируем w1 по w3
w1(w3)=w2^(1/2)=cos(w3)^(1/2)
w1_w3=w1_w2*w2_w3= (1/2)*cos(w3)^(1/2)*(-sin(w3))

Если мы дифференцируем w2 по x
w2(x)=cos(w3)=cos(2x)
w2_x(x)=w2_w3*w3_x=-sin(2x) * 2

Если мы дифференцируем w1 по x
w1(x)=w2^(1/2)=cos(w3)^(1/2)=cos(2x)^(1/2)

w1_x=w1_w2*w2_w3*w3_x=(1/2)*w2^(-1/2) * -sin(w3) * 2 =
= (1/2)*cos(2x)^(-1/2)* -sin(2x) * 2

двойка сократилась так как у нас 1/2 была
осталось cos(2x)^(-1/2)* -sin(2x) оно же -sin(2x)/cos(2x)^(-1/2)

ну интуитивная идея не так расписывать а просто всегда умножать на производную того что в скобках
было sqrt(cos(2x)) в скобках у нас cos(2x)
дифференцируем
(1/2)*cos(2x)^(-1/2) домножаем на производную cos(2x)

имеем cos(2x)
дифференцируем - в скобках у нас (2x)
-sin(2x) домножаем на производную 2x

2(x) - в скобках у нас x
дифференцируем - "в скобках" у нас x

2 как последний шаг домножаем на производную x т.е. значит больше ни на что не нужно

(1/2)*cos(2x)^(-1/2) * -sin(2x) * 2

итого -sin(2x)/sqrt(cos(2x))

Короче я всегда мысленно дифференцирую любую функцию как сложную пока не дойдет до момента когда производная x(аргумента) - единица.

Спасибо огромное! До меня дошло