Интересная задача

Как понял, олимпиадная задача по математике. Слава богу, на егэ подобного такого нет

А чтоб решить надо скобки раскрывать или можно так догадаться?

Не хочется перемножать.

Догадаться может и можно. Но это не будет обоснованным решением.
Нет, скобки раскрывать не нужно.

Вы уверены?

Не олимпиадная это задача.
Ну хорошо, для начала упрощу условие. Итак:
a и b - положительные числа. Их произведение равно 9.
Найти min(a+b).

Вторую задачу я нашел в интернете, там такое решение:

"Обозначим числа за a и b, a*b=9, наименьшее значение числа (a-b)^2=0
Следовательно, a^2-2a*b+b^2=0; a^2+b^2=18; a=b=3; s(наим)=3+3=6"

Но я не понимаю почему "наименьшее значение числа (a-b)^2=0".

a и b могут быть одинаковыми числами. Ноль в любой степени равен нулю. У вас в решении это написано a=b=3.

(3-3)^2 будет рааняться нулю.

А почему "(a-b)^2=0" критерий того, что сумма будет минимальной.

Я еще наел похожую задачу с решением, где решается с производными. Выражают b через a и берут от выражения производную по a и смотрят на интервалах, находят максимум (в той задаче условия найти максимум, а не минимум).

Я производные не очень помню, но в том примере получался квадрат, и там получалась функция от a после взятия производной, а в этом производные вроде будут равны 1, если я правильно помню производные, и чё дальше не понятно.

Обьясню.
Из очевидного неравенства (sqrta - sgrtb)^2 больше или равно нулю (т.е.наименьшее значение ноль), и из известной формулы квадрата разности, получим неравенство
a + b больше или равно 2*sqrt(ab).
Случай равенства будет лишь в том случае, когда (sqrta - sqrtb)^2 = 0, т.е. именно при a=b.
Поэтому min(a + b) = 2a, и достигается при a=b.

Не нужно применять производную. Этот способ затруднит решение основной задачи поста.

Эльза, напишешь ответ потом ладно, я сам такое не решу сейчас, я ничего не помню, нужно восстанавливать знания основательно.

Потом, если никто не решит.

Хорошо, напишу.

Не сумма, а разность. Даже если разность отрицательная, любое отрицательное число в квадрате больше нуля. Вот и выходит, что минимальная разность двух чисел равняется нулю, а это возможно лишь при одинаковых a и b

Меня больше заинтересовало a=b=3. Как это они так определили? Ведь уравнение с двумя переменными не решаются

Уверен. Я видел олимпиадные задачи. Что-то похожее дают 7-8 классам

С этим объяснением решение понял

Так теперь можете решить и основную задачу. Образно выражаясь, она состоит из трёх "маленьких" (нами рассмотренных) задачек.

РЕШЕНИЕ
Итак, найдём min(a+b)(b+c)(a+c), если abc=1, и a,b,c - положительные.
Как уже было доказано, для любых положительных a и b верно неравенство:
a + b больше или равно 2sqrt(ab).
Аналогично
b + c больше или равно 2sqrt(bc),
a + c больше или равно 2sqrt(ac).
Перемножая эти три неравенства, получаем
(a + b)(b + c)(a + c) больше или равно 2sqrt(ab)*2sqrt(bc)*2sqrt(ac),
т.е.
(a + b)(b + c)(a + c) больше или равно 8abc,
т.е.
(a + b)(b + c)(a + c) больше или равно 8*1 = 8.
Ответ: Искомое наименьшее значение выражения 8.

Восемь. Я так и знал.