Интересная задача

[0,5; 1]

Максимальное значение sin x = 1, cos x = 1.
Минимальное значение sin x= -1, cox x= -1
Возведение в чётную степень делает эти значения положительными. Но когда синус равен 1 косинус равен 0 и наоборот.
Поэтому сверху данная функция ограничена 1.
Нижнюю границу лучше искать через производную.
Находим производную, приравниваем к нулю.
4*(sinx)^3*cosx - 4*(cosx)^3*sinx = 0
sinx*cosx*((sinx)^2 - (cosx)^2) = 0
Получаются корни
πn
π/2 + πn
+(-) π/4 + πn

В точках πn и π/2 + πn достигается 1 (максимум)
В точках +(-) π/4 + πn достигается 0,5 (минимум)

Приветствую! Всегда рада Вас видеть:)
Прекрасно, всё так!
Можно решить и без производной. На основании элементарной тригонометрии легко показать, что
f(x) = 1 - 0,5(sin2x)^2.
Поскольку квадрат синуса принимает значения в интервале [0; 1], то множество значений функции [0,5; 1].
Ещё способ.
Замена переменной z = (sinx)^2.
И нахождение (через производную или свойства параболы) наибольшего и наименьшего значений функции
f(z) = z^2 + (1 - z)^2
на отрезке [0; 1].
Получим maxf(z) = 1, minf(z) = 0,5.