Ещё интересные задачки

1) n^3 - n = n (n^2 - 1) = (n - 1)n(n+1)
Произведение подряд идущих целых чисел, очевидно, делится и на 2, и на 3. То есть делится на 6.
2) Очевидно (посмотрите на данное выражение, как на функцию от cosx), значение выражения 7 - 12cosx будет достигать максимума при минимальном cosx: 7 - 12 (-1) = 19.
3) Делитель будет чётным, если в своём разложении на простые множители содержит 2.
Сколько может содержаться двоек в разложении делителя?
От 1 до 9.
И для каждого из этих случаев в разложение может входить от 0 до 7 троек, то есть 8 вариантов.
Итого, различных чётных делителей равно 9*8 = 72.

Отлично!
Я приятно удивлена:)

Я же вроде как-то уже говорил вам что я закончил и кем работаю... Собственно, эти задачки уровня 7-9 класса.
Могу дать задачку, которую я частенько задаю на техническом собеседовании для кандидатов на позицию Junior Data Analyst:
Имеется отрезок [0, 1]. Мы кидаем на него случайную точку.
Наш выигрыш равен значению этой точки. У нас есть право одного переброса.
а) Найти стратегию игры, максимизирующую выигрыш.
б) Чему равно матожидание выигрыша в рамках данной стратегии?
в) Доказать оптимальность выбранной стратегии.

Ну, это явно не 7-9 класс... Может, в математических школах такие задания и решают, но в обычных - точно нет

А после переброса первоэтапный выйгрыш остаётся и суммируется, или аннулируется?

Аннулируется.
Выигрыш – это значение точки, которой оказалось в конце игры.

В таком случае матожидание выйгрыша в любом случае будет 1/2 (равномерное распределение).

Нет. Подумайте.
Я согласен, что при одинарном броске матожидание выигрыша будет равно 1/2. Но ведь нам предоставили ПРАВО переброса. А дополнительное право скорей всего даёт нам возможность оптимизировать выигрыш. Нужно только придумать как этим правом пользоваться.

Может нечто...
P(X больше a) = 1 - a
1 - a больше a
a меньше 1/2.
Т.е. переброс надо делать в том случае, если первоначальный выйгрыш меньше чем 1/2.

Есть некоторые замечания к рассуждениям, но, да, действительно, перебрасывать надо, если точка упала слева от 1/2 и не перебрасывать в противном случае.
Осталось только в рамках данной стратегии подсчитать математическое ожидание выигрыша.

3/4 ?

Нет.

Ну не знаю. Вообще, подозрительная мне эта "задача".

Чем подозрительна?

Опыты независимые. Поэтому мат.ожидание всё равно должно быть 1/2

Ну, разве что используя сумму с.в.
2/3 ?

Вы можете провести вероятностный эксперимент.
Поиграйте в эту игру, генерируя на компьютере случайную величину равномерно распределённую на отрезке [0; 1], и вы быстро убедитесь, что матожидание выигрыша заметно больше 1/2.

Так 2/3 или нет?

Нет. Ответ: 5/8.
Нужно воспользоваться формулой полного математического ожидания (law of total expectation).

Я пыталась её применять.

Мы имеем полную группу попарно-несовместных событий при первом броске: точка упала слева от 1/2 и точка упала справа от 1/2.
Каким будет матожидание выигрыша в каждом из этих случаев?

Конечно, 1/4

5/8 получается, используя теорему так
1/2*1/4 + 1*1/2
но это не согласуется со стратегией.

Матожидание в случае, когда при первом броске точка упала слева от 1/2 (перебрасываем), равно 1/2.
Когда справа – 3/4 (в этом случае значение точки распределено равномерно на отрезке [1/2; 1]).
Применяем формулу полного математического ожидания:
E psi = P{1-я точка упала слева} * 1/2 + P{1-я точка упала справа} * 3/4 = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 3/4 = 5/8.

Понятно.
Только вместо 3/4 должна быть 1/4.

Извиняюсь, всё верно.