Тут только вам решать. Да, родственники могут стыдить, а что им еще остается. Как правило, стыдят как раз те, кто сам не особо хорошо поступает. Понятно, что вас обделили наследством, а обязанности возложили на равных, по-родственному. Если вам дорог родственник как человек, который вам много добра в жизни делал, то и вы поможете. Но я бы не сказала, что на равных. Все понимают, что квартиру завещают в том числе и за уход. Вы можете помогать. Знаете, я бы на вашем месте подумала, прежде чем съезжать со съемного жилья и переезжать в теперь уже чужую квартиру. Потом когда ваша помощь станет не нужна, вас просто выкинут оттуда. И вам опять снимать жилье.
Еще раз повторюсь, в вашем случае возможна помощь больному, но на добровольных началах - в ваше свободное время. Без переездов. У вас своя жизнь и быт.