Предновогодняя задача (5)

С нетерпением жду Русского флага над Русским городом Киевом!

На этот раз желающих дать ответ к задаче не нашлось... Что ж, придётся мне сделать свою – робкую – попытку внести скромный вклад в дело решения новогодних задач от прекрасной Принцессы Эльзы. Надеюсь на то, что в моих рассуждениях она найдет не слишком много ошибок 🙂

Итак...

2026²⁰²⁶ = (2023 + 3)²⁰²⁶

2023 = 289 × 7.

Значит, задача сводится к нахождению остатка от деления 3²⁰²⁶ на 7 (так как при возведении суммы 2023 + 3 в 2026 степень первые 2026 слагаемых делятся на 7 (каждое из них содержит множитель 2023), а последнее – 2027-е как раз и есть 3²⁰²⁶).

3² = 9, при делении на 7 даёт остаток 2
3³ = 27, ... остаток 6
3⁴ = 81, ...... 4
3⁵ = 243, ...... 5
3⁶ = 729, ...... 1
3⁷ = 2187, ...... 3
3⁸ = 6561, ...... 2 (тот же остаток, что в случае 3².
Получается периодичность, из которой вытекает формула:

3^m при делении на 7 даёт такой же остаток, что и 3^(m+6×n).

3^2026 = 3^(4+6×337).

Значит, 3²⁰²⁶ при делении на 7 даёт тот же остаток, что и 3⁴, то есть 4. А значит, и 2026²⁰²⁶ при делении на 7 даёт остаток 4.

Ответ : 4

Замечательно, Сэм!

Большое спасибо 😊

🚀 На Киев! 💥