У котенка слезятся глаза – что делать?

Пойти к врачу и сдать анализ на инфекции.

к ветеринару надо обязательно.
дело такое, что маленькие чуда часто и легко заражаются чем-то, и могут через 1-2 недели просто в какой-то момент закончить жизнь.
нужны обязательно прививки ежегодные. глистогонить ежегодно.
_
ну а глазки - также к ветеринару вопросы, особенно, если слезки не прозрачные, а коричневатые на ватном диске отчетливо видно, цвета быть не должно.
обычно лечат чем-то вроде Тобрекс капель из обычной аптеки, если вирусное. а если бактериальное - наверное чем-то другим.
К ветеринару надо, а не в тырнете вопросы спрашивать.

Мы лечили котёнка, ветеринар капли выписал и строго по часам капали. Сейчас уже 14 лет кошке, всё норм с тех пор.

посадить в корзинку и отнести на осмотр ветеринару, это же теперь ваш кот, нужно ему помочь, глазки еще могут чесаться, или болеть; скорее всего назначат капли с антибиотиком

Я когда брала кошку котёнком тоже слезились глазки, в начале попали к шарлатанам-ветиринарам назначили промывать кошки глаза физраствором и капать капли. Ничего не помогло естественно и как результат кошка не подпускает теперь лечить глаза потом уже нормальные ветеринары сказали, попробуйте себе протирать глаза водой с солью. Потом нормальные ветеринары поставили диагноз что видать аллергия у нее на что то, корм меняли, без изменений. Сейчас моей кошки уже 5, все так же слезятся глазки, мы смирились, ей это ни как не мешает.

Может быть вирусная инфекция, везите на анализы в ветеринарку.