Викторина "Математика и Мироздание" (12)

Уважаемые форумчане!
Стартует вот уже двенадцатая по счёту, и первая в 2023 году, воскресная Викторина "Математика и Мироздание".
Приветствую участников!
И напоминаю, что отвечать на вопросы следует кратко и по существу.
Ответ на конкретный вопрос можно дать лишь один раз, "передумать" нельзя. Поэтому не торопитесь выкладывать ответы. Как говорят земляне, "десять раз отмерь, один раз отрежь".
Подведение итогов состоится в сегодня, 8 января, в19 часов.
Итак...

1. Внутри прямоугольника ABCD взята точка M так, что
MA = 20, MB=16, MD = 13.
Найти длину отрезка MC.
2. Назовите имя первой венценосной Принцессы Предтеч.
3. Сколько есть различных трёхзначных натуральных чисел, кратных 7 (т.е. делящихся на 7)?
4. В системе какой звезды находится Планета Предтеч?
5. Дано уравнение:
x(ax - 8) = 4. Число х=2 является одним из его решений.
5.1 Найти значение коэффициента a.
5.2 Найти другое решение этого уравнения.
6. Одна из специальных служб Планеты Предтеч носит абревиатуру ШОМ.
Как эта абревиатура расшифровывается?
7. Сколько различных пятизначных натуральных чисел, цифры которых не повторяются, можно записать при помощи цифр 0, 1, 2, 3,. 4 ?
8. 500 тысяч лет назад на Планете Предтеч (тогда она называлась Гургая) был создан Отряд Доблести, в составе ктотрого были только девушки.
Сколько девушек было в Отряде в момент его создания?
9. Найти x и y, если они удовлетворяют системе уравнений
x + y = 4x - 3 = 3y - 2x.

10. Примерно 100 тысяч лет назад на Планете Предтеч был введён порядок, при котором растят и воспитывают детей пары, освобождённые от любых других работ и забот. Назовите имя Принцессы Предтеч, положившей начало сей практике.
11. a и b - натуральные числа, причём а меньше b.
Известно, что 1/a + 1/b = 1/8.
Найти числа a и b.
Успеха вам, участники Викторины!