Урок: Квадратные уравнения (3)

ТЕОРЕМА ВИЕТА

Сформулируем теорему Виета для квадратного уравнения.
Предположим, что дискриминант квадратного уравнения
ax^2 + bx + c = 0 (a не равно нулю) (1)
положителен, т.е. уравнение имеет два решения m и n.
Тогда сумма этих двух решений m + n = - b/a,
а их произведение m*n = c/a.
Приведу доказательство теоремы Виета. Моё доказательство оригинально тем, что для ознакомления с ним не обязательно знать формулы нахождения решений квадратного уравнения. Между прочим, этого доказательства вы не найдёте ни в одном учебном пособии.
Поскольку m и n являются решениями уравнения (1), то верны два равенства
am^2 + bm + c = 0 (2)
an^2 + bn + c = 0 (3)
Вычтя из равенства (2) равенство (3), получим
a(m^2 - n^2) + b(m - n) = 0
a(m - n)(m + n) + b(m - n) = 0
Разделив обе части равенства на неравную нулю разность (m - n), получим
a(m + n) = - b, (4)
откуда и получаем первую формулу теоремы Виета
m + n = - b/a.
Для получения второй формулы теремы Виета в равенство (2) вместо b подставим (согласно (4)) (- a(m + n))
am^2 - a(m + n)m + c = 0
am^2 - am^2 - amn + c = 0
Отсюда и получаем вторую формулу теоремы Виета
mn = c/a.
Теорема Виета доказана.
Пример: Найти сумму квадратов решений квадратного уравнения
2x^2 - 6x + 3 = 0.
Решение:
a = 2, b = - 6, c = 3.
Дискриминант D = (-6)^2 - 4*2*3 = 12 положителен, т.е. уравнение имеет два решения m и n.
По теореме Виета
m + n = - (-6)/2 = 3,
mn = 3/2.
Поскольку
(m + n)^2 = 9.
то
m^2 + 2mn + n^2 = 9
m^2 + 2*(3/2) + n^2 = 9
m^2 + 3 + n^2 = 9
Отсюда искомая сумма квадратов решений
m^2 + n^2 = 9 - 3 = 6.
Ответ 6
Задача читателю:
m и n - решения квадратного уравнения
x^2 - 6x + 3 = 0.
Найти квадрат разности этих решений, т.е найти значение выражения
(m - n)^2.